统计学入门（18）: 方差齐性及其作用
罗纳德·费舍尔于1918年提出了方差（variance ）的概念。方差是衡量一组数据点围绕其平均值的分散程度的指标，它量化了每个数据点与数据集平均值的偏离程度。
方差可分为总体方差和样本方差。总体方差是针对整个数据集的方差。对于总体方差，我们考虑的是整个数据集中所有数据点相对于总体均值的偏离程度。总体方差的计算公式如下：
其中，N 是总体数据点的数量，μ 是总体均值。
样本方差是从整体数据集中抽取的一部分数据计算得到的方差。样本方差是从样本数据中计算得到的，通常用于估计总体方差。样本方差的计算公式如下：
其中n是样本数据点的数量，x（上面还有一横）是样本均值。
总体方差和样本方差之间的区别在于计算公式中的除数。总体方差的除数是总体数据点的数量N，而样本方差的除数是样本数据点的数量n−1。因为样本方差要对总体方差进行估计，所以需要考虑样本数据与总体的差异性，使用n−1作为除数进行修正，这种修正称为自由度调整。
方差齐性指在不同的组或条件下，观测值的方差是否大致相等。例如，在下图中，黑线较尖，数据分布更靠近均值，方差较小；红线较平，数据分布更分散，方差较大。
图1 不同的方差
理想情况下，当我们比较多组数据是否有明显差异时，我们希望分布基本一致，即方差大致相等。换成数学术语来说，即方差齐性。在下图中，我们可以看到这三个曲线除了均值之外，分布基本一致（曲线的形状）。
图2 多组方差基本一致
当然，现实生活中没有那么完美。通常情况下，我们可以用小提琴图+箱图+散点图观察数据分布情况。
图3 小提琴图+箱图+散点图
在上图中，我们可以看出这两个分布不一致，左侧宽，右边较窄，不符合方差齐性的要求。下面让我们再来看两个实验。